N                                                               M

А                                                                        В

                                                        Д

Рис. 1.

Часто говорят, лиха беда начало. А здесь оно было особенно трудным. Ведь всякий, кто впервые прочтёт указанное предположение, немедленно воскликнет: «Неверно! Попробуйте продолжить прямые АВ и CN или СМ, они пересекутся тут же на чертеже!»

Конечно, пересекутся, но на обычной (привычной нам) плоскости. Однако, выдвинув свой постулат, Лобачевский сразу же расстался с абсолютным, всюду однородным эвклидовым пространством, поскольку в нём такое допущение было бы невозможно и бессмысленно. Отвергнув истинность V постулата, он тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. «Плоскость» в этом новом, неевклидовом пространстве вовсе не плоская. У неё имеется кривизна. Само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном – предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в «плоское» (нулевой кривизны) пространство Евклида. Следовательно, геометрия последнего есть только частный случай геометрии Лобачевского. Поэтому начерченные на листке бумаги параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид и, конечно, они пересекутся. Но если мы растянем мысленно этот листок-плоскость на миллионы и миллиарды световых лет, можно ли поручиться, что она не приобретёт кривизны? Если приобретёт, то наши прямые («прямые Лобачевского») не встретятся. Так, предполагая возможность применения своей геометрии «за пределами видимого мира» Лобачевский смог заглянуть в беспредельные дали.

Данную мысль можно геометрически проинтерпретировать следующим образом: пусть мы имеем прямую а и через точку с, лежащую вне её, проходит на плоскости прямая b, параллельная а. Теперь, пусть прямая b отклонится, проходя через с, на сколь угодно малую долю градуса (См. рис. 2).

b’

          b                                                                                  α

a

Рис. 2.

Встретится ли b’ с прямой а в этом, «видимом мире»? Ведь после работ А.А. Фридмана и после того, как было установлено, что величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры поля тяготения тех или иных его участков, выдвинутый нами вопрос является вполне оправданным. Но раз это так, то можно построить совершенно непротиворечивую геометрию, в которой оказывается изменённым только пятый постулат, а все остальные аксиомы Евклида сохраняют свой прежний вид.

Только спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной, и его геометрия отлична от евклидовой. Лобачевский предположил даже, что его «геометрии, может быть, следуют молекулярные силы» (по современной терминологии – ядерные силы).